martedì 13 novembre 2012

Come il piccolo Friedrich...sorprendenti soluzioni di alcuni suoi coetanei! :-)

Questo post aveva bisogno di una degna introduzione, per far comprendere a pieno le cause, la genesi e gli scopi di questo lavoro.
Racconterò quindi gli eventi, come si sono succeduti nel tempo, qualche settimana fa.

Una sera, verso l'ora di cena, mia mamma mi è piombata in casa dicendo: "Ho bisogno del tuo aiuto. Domani devo parlare di Gauss e so che tu mi puoi suggerire qualcosa da fare!".
Incuriosita dalla richiesta, mi sono fatta spiegare e lei ha raccontato che durante la mattina aveva proposto ai suoi alunni un particolare problema, che le ha risvegliato subito la celeberrima storia di Gauss. Il problema era più o meno questo:

"Da quando è nato, Marco festeggia il suo compleanno con una torta con le candeline. Conta di aver già spento 210 candeline. Quanti anni ha Marco?"

Dopo qualche minuto di riflessione (e qualche commento spontaneo, del tipo: "Oh, com'è vecchio!!!"), i bambini hanno capito che doveva trattarsi di una somma di numeri successivi. Se le candeline spente erano un "totale", allora signficava che quel numero era dato dalla somma di 1 (candelina spenta ad un anno) + 2 (candeline spente a due anni) + 3 (candeline spente a tre anni) ... + n (cioè il numero di anni che oggi ha Marco).
I bambini, molto meno algebrici di me, ma decisamente intuitivi, hanno così iniziato a procedere per tentativi e sono ben presto arrivati a capire che Marco dopotutto non era poi così vecchio, dato che aveva solo 20 anni!
Arrivati a questo risultato, i bambini, non contenti, hanno provato a pensare a quante candeline avevano spento loro, nella loro vita. Molti bambini in quella classe hanno 9 anni, quindi hanno affermato che nella loro vita avevano spento già 45 candeline! Ma, si sa, il pensiero dei bambini è sempre rivolto verso il futuro (diversamente da noi adulti che tendiamo a "toglierci" sempre qualche annetto!). Molti bambini, in procinto di compiere i 10 anni (o con 10 anni appena compiuti), hanno affermato che il giorno del loro decimo compleanno avranno spento in totale ben 55 candeline!

I bambini frequentano ora una quarta elementare e sono in grado di svolgere semplici problemi come questo con facilità, facendo anche modifiche o aggiunte per portare le loro riflessioni. Insomma, a loro piace molto "giocare" con i problemi.
Mia mamma, probabilmente proponendo questo problema senza intenzioni particolari, ha però colto subito l'occasione d'oro che poteva sfruttare, ovvero proporre in maniera assolutamente coerente la storia (o leggenda, poco importa, purchè sia significativa) di un matematico davvero straordinario, che ha cominciato a stupire fin dalla tenera età.

Mi fermo un momento. 
Certamente avrete ormai compreso che il mio blog è dedicato al piccolo Carl Friedrich Gauss. Questo tributo è assolutamente significativo per me, perchè, come ho anche raccontato nel mio primissimo post introduttivo, la storia del piccolo Gauss deve essere considerata un po' come la storia di ciascuno dei bambini che frequentano la nostra classe. Ogni bambino è portatore di novità, ogni bambino riesce sempre in qualche modo a sorprenderci con il suo pensiero divergente, che ci costringe a ripensare al nostro modo di fare scuola, a soluzioni diverse ai nostri problemi, a nuove modalità di lavoro, che in un attimo ci spiazzano!
La storia del piccolo Friedrich Gauss vuole essere l'esempio di cosa dovrebbe significare per noi insegnare matematica...o anche insegnare in generale. Non aspettiamoci sempre risposte prevedibili, percorsi di cui solo noi conosciamo la fine. Insegnare significa rimanere anche spiazzati davanti a strade che mai avremmo immaginato di percorrere, restare per un attimo confusi quando un bambino ci chiede una cosa che pensavamo di sapere, ma ci sbagliavamo. Questa spinta a rimettersi in gioco ad ogni lezione può fare bene sia a noi (che siamo costretti ad imparare sempre, a lavorare sulla creatività), sia ai nostri bambini (perchè li aiuta a ragionare, a non femrarsi alla risposta chiusa, a mettere in discussione tutto e a creare il proprio pensiero creativo).
Date queste premesse, è logico intuire quanto la richiesta fatta da mia mamma mi sia stata a cuore e quale enfasi abbia messo nella costruzione di questa attività con lei.


Detto questo, eccoci al lavoro! Come sapete, nella mia piccola casa ho una vastissima biblioteca matematico-scientifica, sia per adulti che per bambini. Ho iniziato a mettere in mano libri a mia mamma, trovando per ciascuno la pagina giusta sulla quale avesse potuto ricavare informazioni o spunti utili.
In particolare ho scelto di consigliarle questi libri: 
- "Matematici" di Giorgio Tomaso Bagni (Ed. Antilia Terra Ferma): pp. 198-206
- "Storia della matematica" di Giancarlo Masini (Ed. Sestante): pp. 103-110
- "Ce li hai i numeri?" di Kristin Dahl (Editoriale Scienza): pp. 37-39
- "La piccola bottega delle curiosità matematiche del professor Stewart" di Ian Stewart (Ed. Codice): pp. 139-141
- "La matematica non serve a nulla. Provocazioni e risposte per capire di più" di Giorgio Bolondi e Bruno D'Amore (Editrice Compositori): pp. 51-54
- "Io conto" di Anna Cerasoli (Feltrinelli Kids): pp. 11-13
- "Matematica da tasca" di Albrecht Beutelspacher (Ed. Ponte alla grazie): pp. 50-51.

Una volta visti insieme i materiali e scelti quelli più utili al lavoro in classe, abbiamo pensato a come strutturare l'attività. Ovviamente abbiamo pensato solo alla struttura, perchè poi avremmo lasciato liberi i bambini di lavorare a gruppi e di elaborare le proprie personali soluzioni, non avendo aspirazioni particolari legate al risultato...
Mia mamma (o meglio, la maestra Laura) è così tornata a casa con i libri, piuttosto soddisfatta e pronta alla lezione del giorno dopo.

La mattina seguente è arrivata in classe e ha esordito davanti ai bambini più o meno in questo modo: "Oggi facciamo un viaggio nel tempo: siamo nel 1700" "Quando c'erano i nostri nonni?" ha risposto una bimba. "Beh, un bel po' prima!" "Ah, quando c'era Pitagora!" "Al tempo dei romani!". "No, no. Diciamo che siamo molto più vicini a noi rispetto ai romani o a Pitagora. Circa 300 anni fa".
"Va bene, siamo nel 1700, in Germania". Il sorriso di una bimba di origini tedesche presente nella classe si è acceso immediatamente.
"Ecco, siamo in una scuola primaria tedesca del 1700. Esattamente siamo in una quarta elementare!" "Come noi, maestra!" "Che bello!!!".
"Una volta le classi non erano come le nostre. C'erano classi formate solo da maschi e classi formate solo da femmine. Ecco, oggi noi siamo in una classe di soli maschi", l'orgoglio dei ragazzini in quel momento è arrivato fino alle stelle; le femmine hanno sbuffato un po', ma sono rimaste in ascolto, curiose di sapere dove voleva arrivare la maestra Laura...
"Questi bambini avevano un maestro, anche lui maschio, che era molto ma molto severo! Oggi il maestro entra in classe e, siccome è molto arrabbiato e poi deve anche parlare un attimo con il dirigente, decide di dare ai suoi alunni un esercizio di matematica molto difficile. Almeno i suoi alunni lo lasceranno in pace per una buona mezz'ora! Così lo scrive alla lavagna."
Mia mamma a quel punto è andata verso la lavagna e ha scritto: "Trovare la somma di tutti i numeri da 1 a 100".
I bambini sono rimasti qualche secondo a fissarla in silenzio, attoniti e scossi dalla richiesta. Un bambino timidamente ha domandato: "Ma...ma dobbiamo farlo anche noi?". La maestra Laura, inflessibile e burbera come il maestro in questione ha risposto: "Perchè? Non frequentate anche voi una quarta elementare? Se sono stati in grado di risolvere questo esercizio dei bambini del 1700, non vedo perchè non dovreste essere capaci voi, nel 2012!".
Le facce dei bambini si sono fatte sconvolte. La maestra Laura allora ha sfoderato il suo solito sorriso scherzoso, rassicurandoli in questo modo: "E' vero, voi siete assolutamente in grado di risolvere questo esercizio. Ma voi sapete anche lavorare in modo diverso rispetto ai bambini del 1700. Quel maestro pretendeva che i bambini lavorassero tutti da soli, in rigoroso silenzio, facendo tutte le somme una ad una sulla loro lavagnetta senza sbagliare. Noi invece non lavoriamo così. Possiamo anche discutere insieme, confrontarci".
I bambini, più rilassati, hanno però fatto una giusta osservazione: "Sì, ma anche se lavoriamo insieme, fare la somma di 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... fino a 100 è un lavoro lunghissimo!".
"Certo" ha risposto la maestra Laura "però voi sapete fare un'altra cosa che i bambini del 1700 erano poco abituati a fare. Io sono sicura che ragionando, potrete trovare delle strategie che vi 'accorciano la strada' per arrivare al risultato, che vi fanno risparmiare tempo. Sapete? Anche un bambino in quella classe è riuscito a fare una cosa del genere. Infatti, dopo un solo minuto si è presentato dal maestro con il risultato scritto sulla sua lavagnetta, che era un po' come il nostro quadernone a quadretti. Il maestro l'ha subito sgridato, dicendogli di andare immediatamente al posto perchè pensava che avesse sbagliato tutto! In fondo, secondo lui, era impossibile che in così poco tempo fosse riuscito a risolvere quel difficile problema. Invece quel bambino era proprio arrivato alla soluzione giusta! E c'era riuscito trovando una strategia molto furba, che dopo vi racconterò. Secondo me anche voi sareste in grado di trovarne una così comoda... Volete provare?".
I bambini, iperstimolati sia dal contesto (storico e reale) della vicenda, sia dalla giusta provocazione dell'insegnante, si sono messi immediatamente al lavoro, cercando di trovare, assieme ai compagni di banco o agli amici, una strategia "veloce" per arrivare al risultato giusto.

Dopo pochi minuti, ecco avvicinarsi alla maestra Laura un bambino che da solo, senza confrontarsi con nessuno, aveva elaborato una soluzione: "Io ho capito che se si fa 1 + 100, oppure 2 + 99, o 3 + 98, viene sempre 101. Allora ho moltiplicato 101 per 100 volte e il mio risultato è 10.100". Mia mamma non ha voluto dare un feedback subito, dicendo che alla fine tutti i bambini avrebbero discusso insieme e confrontato le soluzioni.

101 x 100 = 10.100

Un altro gruppo di bambini è arrivato a un risultato, attraverso un'interessante strategia. Hanno portato un foglio sul quale avevano scritto tutti i numeri da 1 a 100 in file e su cui avevano segnato in modo diverso vari numeri. Poi hanno spiegato in questo modo la loro soluzione: "Abbiamo pensato che le coppie 1 + 99, 2 + 98, 3 + 97, ecc... davano dei risultati "comodi", cioè facevano tutte 100. Abbiamo contato le coppie, che erano 49, quindi abbiamo fatto 100 x 49, che dà come risultato 4.900. Però da queste coppie rimanevano fuori il 100 (perchè era l'ultimo) e il 50 (perchè era a metà e non si accoppiava con niente). Allora abbiamo fatto 4.900 + 100 + 50 e il nostro risultato è stato 5.050".

Un terzo gruppo di bambini è arrivato al risultato attraverso un'ingegnosa strada diversa, che ha dimostrato la loro sorprendente capacità di collegare l'attività di quel momento a una conoscenza pregressa, ovvero il problema svolto proprio il giorno prima! Nessuno aveva suggerito loro questa analogia, solo che probabilmente a loro era rimasto particolarmente impresso il risultato del vecchio problema e hanno ben pensato di sfruttarlo a loro vantaggio per risolvere quello nuovo.
Anche loro hanno portato un foglio su cui si erano scritti particolari appunti. Hanno poi descritto il loro ragionamento: "Ieri con il problema di Marco abbiamo capito che la somma dei numeri da 1 a 10 fa 55 (quando facevamo i conti per capire quante candeline avremmo spento il giorno del nostro decimo compleanno). Ora, in ogni riga le unità più la decina finale dei numeri danno sempre come risultato 55 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55).
Per la prima riga, quindi, il risultato è 55. 
Nella seconda riga, se sommiamo le unità e la decina finale abbiamo 55, ma ogni numero vale una decina di più rispetto alla riga precedente. Quindi facciamo 10 x 10 = 100. La seconda riga sarà perciò 55 + 100. 
Nella terza riga i numeri valgono due decine in più rispetto a quelli della prima riga, quindi 20 x 10 = 200. La terza riga sarà perciò 55 + 200. 
La quarta riga, secondo questo ragionamento sarà 55 + 300, la quinta 55 + 400 e così via, fino all'ultima. 
Alla fine sommiamo tutto: 55 x 10 volte, che fa 550 + 100 + 200 + 300 + 400 + 500 + 600 + 700 + 800 + 900. Facendo in questo modo, le somme diventano più facili. Il nostro risultato è quindi 5.050".
La soluzione laboriosa, ma estremamente ragionata e "scomposta" di questo gruppo è davvero interessante. Più dispendiosa in termini di tempo rispetto alle altre due, ma certamente molto logica. I bambini avrebbero potuto fare un'altra "composizione di numeri", magari accorgendosi che 100 + 900, 200 + 800, 300 + 700 e 400 + 600 davano sempre come risultato 1000 e quindi arrivare a fare 550 + 4000 + 500. Ma accontantiamoci della magnifica soluzione da loro trovata, che è già un incredibile esempio di ragionamento e abilità nel calcolo mentale.

Queste sono state le tre soluzioni ingegnose e salvatempo trovate dai bambini, che sono state poi spiegate a tutto il gruppo e confrontate.
       
E' apparso subito evidente che il risultato del primo bambino, quello che aveva elaborato da solo una soluzione, si discostava dagli altri due (anche se non troppo in realtà...era infatti il doppio del risultato trovato dagli altri!).
I bambini hanno capito che quindi forse il risultato giusto era proprio 5.050 e per verificarlo hanno ascoltato la soluzione di Friedrich, il bambino che in quella classe del 1700 aveva sorpreso tutti i compagni e addirittura il suo maestro!
       
Friedrich (o meglio Carl Friedrich Gauss) aveva trovato questa strategia: aveva scoperto che 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 e così via erano tutte coppie che davano come risultato 101. I numeri da sommare erano 100, ma se i numeri erano accoppiati tra loro, significava che le coppie in totale erano la metà di 100, cioè 50. Friedrich quindi aveva velocemente intuito che per risolvere il problema poteva fare 101 x (100 : 2) cioè 101 x 50 che fa proprio 5.050!
       
A quel punto il bambino che aveva dato per primo il risultato è intervenuto esclamando: "Ma è come la mia soluzione!". Certo, aveva intuito la strada migliore, ma nella sua soluzione si era dimenticato di riflettere sul fatto che le coppie non erano 100, ma esattamente la metà.
Insomma, a lui va il merito di essere riuscito a ragionare così come aveva fatto Friedrich, ma anche l'appunto di essere stato un po' troppo frettoloso nel ragionamento, il che lo ha portato a un risultato non corretto. :-)
Agli altri gruppi, invece, va il merito di essere arrivati, per strade diverse, al giusto risultato del problema: 5.050!

A quel punto, la maestra Laura ha deciso di terminare il lavoro leggendo ai bambini due versioni della storia di Friedrich (che non si sa bene se sia storia, leggenda o altro, dato che appunto le versioni abbondano di particolari diversi tra loro).
Ha scelto di leggere la versione più divertente e scorrevole di Giorgio Tomaso Bagni in "Matematici", che farcisce l'aneddoto con la presenza di un antipatico e biondissimo compagno di classe, seduto nel primo banco e preferito del burbero maestro, che non riesce questa volta a superare l'ingegno e l'umiltà del piccolo Friedrich e, alla fine, completa la storia con una frase curiosa che dà l'idea di cosa pensasse quel maestro della disciplina che insegnava: "Carl Friedrich Gauss, in aritmetica, come in ogni altra umana attività, non si può evitare la fatica. Torna dunque al tuo posto, e ricordati, in futuro, di procedere con più umiltà, come fanno tutti i tuoi bravi colleghi che stanno ancora lavorando. Insomma, tu chi credi di essere? Un principe?". Curioso notare come questa concezione della matematica non sia ancora del tutto scomparsa nelle idee di molti professori e studenti...e come i bambini della classe di mia mamma, con l'esercizio di oggi, siano riusciti a dimostrare esattamente il contrario! Inoltre, chi conosce la storia della matematica sa che il piccolo Friedrich una volta cresciuto ricevette appunto l'appellativo di "principe della matematica".
La seconda lettura che la maestra Laura ha scelto di fare è quella presente sul testo "Storia della matematica" di Masini. Questa narrazione (pur riportando qualche imprecisione) racconta in maniera un po' più complessa la vita familiare del piccolo Friedrich e spiega in modo leggermente diverso la vicenda accaduta nella sua classe. Innanzitutto dice il nome del maestro tanto intransigente, il signor Buttner (sarà un dettaglio irrilevante per voi, ma ai bambini basta un nome perchè tutta una storia diventi ancora più reale e interessante!), poi racconta, in modo molto diverso rispetto all'altra versione, come il maestro, resosi conto della genialità del suo alunno, abbia alla fine ceduto e, commosso, da lì in poi abbia fatto di tutto per far studiare quel ragazzino nel miglior modo possibile, comprandogli lui stesso i libri che la famiglia non si sarebbe potuta permettere e regalandogli addirittura i testi di algebra, analisi e geometria più in voga di quel periodo.

Carl Friedrich Gauss diventò uno dei più grandi matematici della storia. I bambini lo hanno capito e probabilmente in cuor loro hanno anche sperato di poter fare, da grandi, cose altrettanto importanti. 
Io glielo auguro, con tutto il cuore. Non di diventare matematici, ma che le loro piccole idee e intuizioni creative non vengano mai spente da un maestro che crede che la via migliore sia quella dell'assertiva fatica. Che imparino a tirar fuori da loro sempre il meglio, per arrivare, magari prima degli altri e con soluzioni geniali, ai risultati sperati.

Probabilmente avrete notato che questo articolo mi sta forse più a cuore degli altri. Rimpiango un po' di non essere stata io a condurre quella lezione, soprattutto dopo aver visto la luce negli occhi di mia mamma quel giorno, all'ora di pranzo, corsa da me appena tornata da scuola per raccontarmi, soddisfatta e sorpresa, ciò che i suoi bambini erano riusciti a scoprire.
Sono orgogliosa di aver potuto partecipare alla preparazione di questo momento "speciale" per quel gruppo di bambini. Mia mamma ha detto loro che mi avrebbe raccontato tutto ciò che avevano elaborato (e, come sapete, loro mi considerano l'"esperta", quindi per loro è stato di grande stimolo questo lavoro). Io ho deciso di condividere questa bellissima esperienza con voi, per dare ancora più importanza al loro lavoro e fornirvi delle idee interessanti per costruire le vostre attività matematiche in classe.

L'ho già detto mille volte e lo ripeto: la storia della matematica è assolutamente un valore aggiunto al lavoro che può essere svolto in classe. Probabilmente questo post vi ha dato un'idea del perchè io la pensi così.
I bambini si immedesimano nelle situazioni, diventano loro i personaggi di una storia che è a tutti gli effetti una storia vera, realmente successa tanto tempo fa.
Sono motivati a trovare delle soluzioni perchè si sentono come i protagonisti, colgono le stesse motivazioni che essi hanno trovato e hanno voglia di confrontarsi con loro, di sfidarli per diventare in qualche modo migliori.
Lavorare in questo modo non solo contribuisce a restituire un senso alla matematica, ma dà delle basi profonde che i bambini difficilmente dimenticheranno perchè in questo modo sono stati in prima persona coinvolti a scoprire.

Insomma, vedere la personificazione vivente del personaggio che ha ispirato il mio blog, vedere tanti piccoli Friedrich all'opera, è stata una soddisfazione incredibile, che non ho vissuto direttamente, ma che in futuro mi auguro (e vi auguro) di provare! :-)

4 commenti:

  1. Che meraviglia!
    Pur non essendo un'insegnante sperimento sui miei figli e sono certa che i bambini abbiano strade loro per arrivare a capire le scienze, in particolare la matematica e la fisica.
    Non hanno ancora i limiti imposti dalla fisica classica e trovano naturali dei concetti che per noi adulti sono molto più impervi.
    Cristina

    RispondiElimina
    Risposte
    1. E' vero, hanno la mente più aperta, perchè trovano tutto facile e tutto interessante.
      Non bisognerebbe mai spegnere la loro voglia di conoscere!

      Elimina
  2. Sarebbe stato bellissimo avere maestre di matematica e scienze come voi!!

    RispondiElimina
  3. Domani volevo presentare alle mie 2 classi quinte Gauss e non sapevo come introdurlo, mi hai suggerrito un'idea a dir poco meravigliosa. Grazie mille Annalisa

    RispondiElimina